Сотрудник Лаборатории информационных технологий ОИЯИ Игорь Барашенков и преподаватель математического факультета Кейптаунского университета Нора Алексеева представили новый вариационный подход для описания осциллонных решений в уравнении Клейна-Гордона, свободный от сингулярностей. Ранее предлагавшиеся методы приводили к динамическим системам с нестабильными периодическими орбитами, расходящимися при возмущении. Существенной особенностью предложенного авторами набора коллективных пробных функций является включение коррекции неравномерной фазы роста. Помимо определения параметров осциллона, данный подход фиксирует возникновение его нестабильности. Исследование было опубликовано в 2023 году в журнале Physical Review D.

Исследование было мотивировано многочисленными связями и сходством между осциллонами в уравнении Клейна-Гордона и солитонами нелинейных уравнений Шредингера. Вариационный метод представляет простой и эффективный подход к описанию солитонов в нелинейном уравнении Шредингера. В отличие от него, вариационный анализ осциллонов в уравнении Клейна-Гордона до сих пор не был сколь-либо успешным.

Одним из препятствий для прямой («наивной») вариационной трактовки осциллона является то, что его эффективная ширина оказывается непригодной в качестве коллективной координаты в этом подходе. Амплитуда и ширина солитона представляют собой стандартный набор переменных в нелинейном уравнении Шредингера, но аналогичные переменные в уравнении Клейна-Гордона приводят к сингулярной четырехмерной динамической системе.

В статье представлен вариационный метод, свободный от сингулярностей. Метод направлен на определение параметров осциллона, области его существования и точек перехода от стабильности к нестабильности. Предложенная формулировка основана на быстром гармоническом анзаце, дополненном адиабатической эволюцией коллективных координат осциллона. Существенной компонентой набора коллективных координат является так называемая «ленивая фаза», представляющая собой циклическую переменную и описывающая неравномерные фазовые коррекции.

В качестве прототипа уравнения, обладающего осциллонными решениями, использовалась модель Косевича-Ковалева. Вариационный метод определяет область существования осциллона (0 < ω < 2) и находит частоту ω_c, при которой осциллон теряет свою устойчивость (ω_c = √2). Область предсказанной стабильности хорошо согласуется с численным моделированием дифференциального уравнения ϕ_tt−ϕ_xx+4ϕ−2ϕ³ = 0, имеющего стабильные осциллоны с частотами 1.03ω_c ≤ ω < 2. Вариационные амплитудно-частотные и масштабно-частотные характеристики согласуются с параметрами полученных численных решений.