Первая премия ОИЯИ за 2019 год в номинации «Научно-исследовательские теоретические работы» была присуждена Исаеву Алексею Петровичу (Лаборатория теоретической физики ОИЯИ, Дубна) и Рубакову Валерию Анатольевичу (Институт ядерных исследований РАН, Москва) за работу “Теория групп и симметрий. Представления групп Ли и алгебр Ли. Приложения”.

Сегодня теория групп и симметрий является важнейшей составной частью аппарата теоретической физики. С точки зрения физики элементарных частиц, космологии и смежных областей главную роль играют группы и алгебры Ли, соответствующие непрерывным симметриям. Достаточно сказать, что в основе релятивистской физики лежат группы Лоренца и Пуанкаре, а современная теория элементарных частиц — Стандартная модель — базируется на калибровочной (локальной) симметрии с калибровочной группой SU(3) × SU(2) × U(1). В связи с этим книги [1] и [2] посвящены именно группам и алгебрам Ли и смежным вопросам. В них представлены конструкции и результаты, имеющие достаточно общий характер, хотя имеются и многочисленные конкретные примеры.

В первой книге [1] дано расширенное изложение положений и результатов теории групп и симметрий, имеющих широкие приложения в теоретической и математической физике. Обсуждается как алгебраическая теория групп, так и теория представлений групп и алгебр Ли. Особое внимание уделено компактным группам и алгебрам Ли, а также конформным группам и алгебрам в пространствах различной размерности. Рассматривается классификация полупростых конечномерных алгебр Ли. В книге [1] дано определение янгианов Y (sℓ), Y (so) и Y (sp), которые связаны с простыми алгебрами Ли классических серий. Исследования указанных янгианов актуальны с точки зрения построения и изучения интегрируемых систем, обладающих симметриями SL, SO и Sp типа. Изложение теории янгианов базируется на исследовании квадратичных RTT-алгебр, которые строятся с помощью рациональных решений уравнения Янга-Бакстера. RTT-алгебры были впервые введены Л. Д. Фаддеевым и его сотрудниками.

В первой книге также подробно изучается дифференциальная геометрия однородных пространств, которая активно применяется при исследовании моделей квантовой теории поля, гравитации и статистической физики. Кроме того подробно излагается теория конформных групп, являющихся основой адС/КТП соответствия.

Вторая книга [2] является продолжением первой книги [1]. В ней излагаются основы теории представлений групп Ли и алгебр Ли, а также приложения этой теории. Изложение начинается с введения обозначений Дирака, удобство которых продемонстрировано при обсуждении в первой главе алгебр бозонных и фермионных осцилляторов, а также алгебр Грассмана. Далее детально рассматриваются представления групп SL(2, ) и SU(2) и их алгебр Ли. Эти представления играют важнейшую роль во многих разделах теоретической физики. Кроме того, в случае конечномерных представлений групп SL(2, ) и SU(2) подробно исследуется разложение Клебша-Гордана, вычисляются коэффициенты Клебша-Гордана и 6-j символы Виг- нера. Для вычислений 6-j символов была применена модификация метода Швингера производящих функций. Далее обсуждается общая теория конечномерных неприводимых представлений простых алгебр Ли на основе построения представлений со старшим весом. В этой части второй книги дана классификация всех конечномерных неприводимых представлений простых алгебр Ли. Эта классификация детально рассматривается в случае алгебр Ли классических серий sℓ(n, ), so(n, ) и sp(2r, ). После этого подробно обсуждаются представления линейных групп SL(N, ) и их компактных вещественных форм SU(N). Конечномерные неприводимые представления групп SL(N, ) и SU(N) строятся на основе дуальности Шура–Вейля. В рамках этого подхода инвариантные подпространства неприводимых представлений выделяются в тензорном произведении V^⊗r пространств V определяющих представлений с помощью действия на V^⊗r образов специальных элементов (идемпотентов) групповой алгебры [S_r] группы перестановок S_r. При этом особую роль играет теория представлений алгебры [S_r] (теория Юнга–Фробениуса, подход Вершика–Окунькова), основанная на комбинаторике диаграмм и таблиц Юнга.

Далее подробно обсуждаются конечномерные неприводимые представления ортогональных групп. Особое внимание уделено многомерным (псевдо)ортогональным группам O(p, q) и SO(p, q), в том числе многомерным группам Лоренца O(1, N − 1) и SO(1, N − 1), и их алгебрам Ли. Конечномерные неприводимые представления ортогональных групп и алгебр Ли строятся на основе дуальности Шура-Вейля-Брауэра, которая является обобщением дуальности Шура-Вейля в случае представлений линейных групп и алгебр Ли. Выделение инвариантных подпространств неприводимых представлений ортогональных групп, из тензорного произведения векторных пространств тесно связано с теорией представлений алгебры Брауэра, которая является расширением групповой алгебры [S_r].

Детально обсуждаются накрывающие группы Spin(p, q) для псевдоортогональных групп SO^↑ (p, q). Группы Spin(p, q) называются спинорными группами и в настоящее время активно используются в квантовой теории поля. Обсуждаются спинорные представления ортогональных алгебр Ли и спинорных групп Ли. Исследование спинорных групп Spin(p, q) и их представлений требует введения алгебр Клиффорда, ассоциированных с пространствами , и обсуждения представлений этих алгебр.

Список работ

[1] А.П.Исаев, В.А.Рубаков, Теория групп и симметрий. Конечные группы. Группы и алгебры Ли. Москва, URSS ”КРАСАНД” (2018) 491 стр.; A.P.Isaev and V.A.Rubakov, Theory of Groups and Symmetries. Finite Groups, Lie Groups, and Lie Algebras, World Scientific Publishing (2018) 476 pages.

[2] А.П.Исаев, В.А.Рубаков, Теория групп и симметрий. Представления групп Ли и алгебр Ли. Приложения. Издательство ОИЯИ, 2019-38, Дубна (2019) 482 стр.; A.P.Isaev and V.A.Rubakov, Theory of Groups and Symmetries. Representations of groups and Lie algebras, applications, World Scientific Publishing (2020).

д.ф.-м.н. А. П. Исаев, заместитель директора ЛТФ ОИЯИ,
академик РАН В. А. Рубаков, главный научный сотрудник ИЯИ РАН